Question

（2012•河北模擬）設函數f（x）=sin（

πx

3

-

π

6

）-2cos2

πx

6

．
（1）求f（x）的最小正周期及單調遞增區間；
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式為

3

sin（

π

3

x-

π

3

）-1，由此求得f（x）的最小正周期，由 2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范圍，即可得到單調遞增區間．
（2）由題意可得本題即求當x∈[3，4]時，函數y=f（x）的最大值．由x∈[3，4]，可得

πx

3

-

π

3

的范圍，進而得到 sin（

πx

3

-

π

3

）的范圍，從而求得函數y=f（x）的最大值．

解答：解：（1）函數f（x）=sin（

πx

3

-

π

6

）-2cos2

πx

6

=

3

2

sin

π

3

x-

3

2

cos

π

3

x-1=

3

sin（

π

3

x-

π

3

）-1，
故f（x）的最小正周期為

2π

π 3

=6．
由 2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，
故單調遞增區間為[6k-

1

2

，6k+

5

2

]，k∈z．
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，
故當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最大值，即為x∈[3，4]時，函數y=f（x）的最大值．
此時，

2π

3

≤

πx

3

-

π

3

≤π，0≤sin（

πx

3

-

π

3

）≤

3

2

，-1≤f（x）≤

1

2

，
故函數y=f（x）的最大值為

1

2

．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域和值域，現了化歸與轉化的數學思想，屬于中檔題．