Question

空氣質量指數PM2.5（單位：μg/m²）表示每立方米空氣中可入肺顆粒的含量，這個值越高，就代表空氣污染越嚴重：

PM2.5日均濃度	0～35	35～75	75～115	115～150	150～250	＞250
空氣質量級別	一級	二級	三級	四級	五級	六級
空氣質量類別	優	良	輕度污染	中度污染	重度污染	嚴重污染

甲、乙兩城市2013年12月份中的15天對空氣質量指數PM2.5進行檢測，獲得PM2.5日均濃度指數數據如莖葉圖所示：

（1）在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優獲良的概率；
（2）在甲城市15個檢測數據中任取2個，設X為空氣質量類別為優獲良的天數，求X的分布列及數學期望（用分數表示）．

Answer 1

分析：（1）根據古典概率的概率公式計算在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優獲良的概率；
（2）根據排列組合的知識，即可求X的分布列及數學期望．

解答：解：（1）由莖葉圖可知甲城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有9天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為

9

15

=

3

5

，
乙城市在15天內空氣質量類別為優或良的共有6天，任取1天，空氣質量類別為優或良的概率為

6

15

=

2

5

，
在15天內任取1天，估計甲、乙兩城市空氣質量類別均為優或良的概率為

3

5

×

2

5

=

6

25

．
（2）由題意知X的取值為0，1，2，
∴P（X=0）=

C 0 9 C 2 6

C 2 15

=

1

7

，P（X=1）=

C 1 9 C 1 6

C 2 15

=

18

35

，P（X=2）=

C 2 9

C 2 15

=

12

35

．
X的分布列為：

X	0	1	2
P	1 7	18 35	12 35

數學期望EX=0×

1

7

+1×

18

35

+2×

9

35

=

36

35

．

點評：本題主要考查莖葉圖的應用，以及隨機變量的分布列的求法．正確理解莖葉圖、相互獨立事件的概率計算公式、隨機變量的分布列、數學期望的計算公式、排列與組合的計算公式是解題的關鍵．