Question

【題目】已知函數有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍.

（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.

（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）沒有最小值.見解析

【解析】

（1）先求得函數的定義域和導函數，結合一元二次方程根的分布求得的取值范圍.

（2）根據（1）求得，求得的表達式，并利用導數求得這個表達式的取值范圍.

（3）由（2）假設，，則，求得的表達式，并利用導數研究這個表達式的單調性，由此判斷出這個表達式沒有最小值，也即沒有最小值.

（1）定義域為，.

因為有兩個不同的極值點，且，

所以有兩個不同的正根，，解得.

（2）因為，不妨設，所以，，

所以

.

令，則，

所以在上單調遞增，所以，

即的極大值與極小值之和的取值范圍是.

（3）由（2）知.因為，

所以，

所以.

因為，所以

.

令，則，

所以在上單調遞減，無最小值，

故沒有最小值.