Question

在△ABC中，已知B(－3，0)，C(3，0)，AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向線段所成的比為．

(1)求點H的軌跡方程；

(2)設P(－1，0)，Q(1，0)那么，，能成等差數列嗎？為什么？

Answer 1

答案：
解析：

思路　　A點的運動引起H點的運動，可設A(x0，y0)，H(x，y)，由條件尋找它們之間的關系．由垂心條件可建立等量關系，從而獲得H點的軌跡方程． 　　解答　　(1)設H點的坐標為(x，y)、A點的坐標為(x0，y0)，則D(x0，O)，由H分所成的比為 　　∴x＝x0且y＝y0 　　又∵BH⊥AC 　　∴kBH·kAC＝－1．即·＝－1 　　化簡得，＋＝1(y≠0)即為所求的軌跡方程． 　　(2)由(1)知P、Q分別為橢圓的左右焦點，設H(x，y)，并假設，，能成等差數列，則＝＋ 　　∵|HP|＝3＋x，|HQ|＝3－x，|PQ|＝2 　　∴＝＋化簡得x2＝27 　　∴＝1－＝1－3＜0矛盾． 　　∴··不能成等差數列． 　　評析　　本小題充分利用了三角形垂心這一已知條件由AD⊥BC得A、D橫坐標相同．由BH⊥AC建立等量關系同時注意軌跡的純粹性與完備性．