Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°
（I）證明AD⊥平面PAB；
（II）求異面直線PC與AD所成的角的正切值；
（III）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）由題意在△PAD中，利用所給的線段長度計算出AD⊥PA，再利用矩形ABCD及線面垂直的判定定理即可證明線面垂直．
（II）利用條件借助圖形，利用異面直線所成角的定義找到共面的兩條相交直線，然后結合解三角形有關知識解出即可；
（Ⅲ）過點P做PH⊥AB于H，因為平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD，由題意得求三棱錐的高PH=

3

．可得三棱錐的體積是 2

3

．

解答：解：（Ⅰ）證明：在△PAD中，由題設PA=2，PD=2

2

，
可得PA²+AD²=PD²于是AD⊥PA．
在矩形ABCD中，AD⊥AB．又PA∩AB=A，
所以AD⊥平面PAB．
（Ⅱ）由題設，BC∥AD，
所以∠PCB（或其補角）是異面直線PC與AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得
PB=

PA2+AB2-2PA•AB•cosPAB

=

7

由（Ⅰ）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以AD⊥PB，因而BC⊥PB，于是△PBC是直角三角形，故tanPCB=

PB

BC

=

7

2

．
所以異面直線PC與AD所成的角的大小為arctan

7

2

．
（Ⅲ）過點P做PH⊥AB于H，
∵平面PAB⊥平面ABCD平面PAB∩平面ABCD=AB
∴PH⊥平面ABCD，
在Rt△PHA中PH=PAsin60°=2×

3

2

=

3

∴Vp-ABCD=

1

3

AB×AD×PH=

1

3

×3×2×

3

=2

3

點評：本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角，以及求三棱錐的體積關鍵是找到一個高并且簡單易求，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，還考查了利用反三角函數的知識求出角的大小．