Question

（2013•保定一模）選修4一5：不等式選講
設函數f （x）=|x-a|+3x，其中a≠0．
（1）當a=2時，求不等式f（x）≥3x+2的解集；
（2）若不等式f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=2時，函數f （x）=|x-2|+3x，不等式即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，由此求得它的解集．
（2）由不等式可得|x-a|≤-3x，即

x≥a x≤ a 4

，或 

x＜a x≤- a 2

．分a大于零和a小于零兩種情況，分別求得不等式組的解集，再根據f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，求得a的范圍．

解答：解：（1）當a=2時，函數f （x）=|x-a|+3x=|x-2|+3x，
不等式f（x））≥3x+2，即|x-2|+3x≥3x+2，即|x-2|≥2，
∴x-2≥2，或 x-2≤-2．即 x≥4，或 x≤0，故f（x））≥3x+2的解集為{x|x≥4，或 x≤0}．
（2）由不等式f （x）≤0，可得|x-a|≤-3x，即

x≥a x≤ a 4

，或 

x＜a x≤- a 2

．
由于a≠0，
①若a＞0，則不等式組的解集為 {x|x≤-

a

2

}．
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得-

a

2

≥-1，求得 0＜a≤2．
②若a＜0，則不等式組的解集為 {x|x≤

a

4

}，
由f （x）≤0的解集包含{x|x≤-1}，可得

a

4

≥-1，求得-4≤a＜0．
綜上可得，a的取值范圍為{a|0＜a≤2，或-4≤a＜0 }．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，集合間的包含關系，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．