Question

已知：以點C(t，

2

t

)(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點O，A，與y軸交于點O、B，其中O為原點，
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可．
（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．

解答：解：（1）∵圓C過原點O，
∴OC2=t2+

4

t2

，
設圓C的方程是(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

，
令x=0，得y1=0，y2=

4

t

，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S△OAB=

1

2

OA×OB=

1

2

×|

4

t

|×|2t|=4，
即：△OAB的面積為定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN，
∵k_MN=-2，∴koc=

1

2

，
∴直線OC的方程是y=

1

2

x，
∴

2

t

=

1

2

t，解得：t=2或t=-2，
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

1

5

＜

5

，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點，
當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1），OC=

5

，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=

9

5

＞

5

，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程等有關知識，是中檔題．