Question

設向量

a

，

b

，

c

滿足|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

，＜

a

-

c

，

b

-

c

＞=60°，則|

c

|的最大值等于

2

．

Answer 1

分析：利用向量的數量積求出

a

，

b

的夾角；利用向量的運算法則作出圖形；結合圖形利用四點共圓；通過正弦定理求出外接圓的直徑，求出|

c

|最大值．

解答：解：

c

∵|

a

|=|

b

|=1，

a

•

b

=-

1

2

∴

a

，

b

的夾角為120°，
設 OA=

a

，OB=

b

，OC=

c

則

CA

=

a

-

c

；

CB

=

b

-

c

如圖所示
則∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠AOC=180°
∴A，O，B，C四點共圓
∵

AB

=

b

-

a

∴

AB

²=

b

²-2

a

•

b

+

a

²=3
∴AB=

3

，
由三角形的正弦定理得外接圓的直徑2R=

AB

sin∠ACB

=2
當OC為直徑時，|

c

|最大，最大為2
故答案為：2．

點評：本題考查向量的數量積公式、向量的運算法則、四點共圓的判斷定理、三角形的正弦定理．