Question

（2010•石家莊二模）已知△ABC中，內角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若y=cos²A+cos²C，求y的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由正弦定理化簡已知的等式，移項后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形，根據A為三角形的內角，得到sinA不為0，進而得到cosB的值，再由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由第一問求出的B的度數，根據內角和定理得到A+C的度數，進而得到2A+2C的度數，用2A表示出2C，接著把所求的式子利用二倍角的余弦函數公式化簡，把表示出的2C代入，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值變形，合并后再利用兩角和與差的正弦函數公式把所求式子化為一個角的正弦函數，由2A的范圍，得到這個角的范圍，得到正弦函數的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，（2分）
即sin（B+C）=2sinAcosB，
因為0＜A＜π，所以sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知2A+2C=

4π

3

，
則y=cos²A+cos²C
=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

(

1

2

cos2A-

3

2

sin2A)
=1-

1

2

sin(2A-

π

6

)
∵0＜2A＜

4π

3

，
∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
則-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，（8分）
所以y的取值范圍為[

1

2

，

5

4

)．（10分）

點評：此題考查了正弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，二倍角的余弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．