Question

如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點，已知AB=AC=AA₁=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）見解析   (2)    (3)8

試題分析：
(1)(2)(3)均可利用坐標法,即分別以建立三維空間坐標系.下面重點分析法2
(1)利用勾股定理可以求的線段的長,而要證明面,只需要證明,首先可以三次利用勾股定理把的三條邊長求出,再利用勾股定理證明,線段為等腰直角三角形ABC的三線合一即有,可得到面,進而得到,即可通過線線垂直證明面DAE.
(2)要求二面角的余弦值,需要作出該二面角的平面角,為此過D做DM⊥AE于點M，連接B₁M.,根據第一問有面AED且可以得到面,則即為所求二面角的平面角,即該角的余弦值為.利用勾股定理即可得到的長,進而得到二面角的余弦值.
(3)由(1)可得面,則該三棱錐可以以作為底面,高為來求的體積,而AD和三角形的面積都可以用勾股定理求的.
試題解析：

法1:依題意，建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz.因為＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B₁（4，0，4）.                         （1分）
（1），，.             （2分）
因為，所以，即.    （3分）
因為，所以，即.     （4分）
又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.          （5分）
（2）由（1）知為平面AED的一個法向量.            （6分）
設平面 B₁AE的法向量為，因為，，
所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）
∴，                （8分）
∴二面角的余弦值為.                             （9分）
（3）由，，得，所以AD⊥DE. （10分）
由，，得.    （11分）
由（1）得B₁D為三棱錐B₁-ADE的高，且，             （12分）
所以.                        （13分）
法2:依題意得，平面ABC，，，
，.
（1）∵，D為BC的中點，∴AD⊥BC.
∵B₁B⊥平面ABC，AD平面ABC，∴AD⊥B₁B.
BC、B₁B平面B₁BCC₁，且BC∩B₁B=B，所以AD⊥平面B₁BCC₁.
又B₁D平面B₁BCC₁，故B₁D⊥AD .                               （2分）
由，，，
得，所以.                        （4分）
又AD、DE平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面.        （5分）
（2）過D做DM⊥AE于點M，連接B₁M.
由B₁D⊥平面AED，AE平面AED，得AE ⊥B₁D.
又B₁D、DM平面B₁DM，且B₁D∩DM=D，故AE⊥平面B₁DM.
因為B₁M平面B₁DM，所以B₁M⊥AE.
故∠B₁MD為二面角B₁—AE—D的平面角.                          （7分）
由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，又DE平面B₁BCC₁，所以AD⊥DE.
在Rt△AED中，，                       （8分）
在Rt△B₁DM中，，
所以，即二面角B₁—AE—D的余弦值為. （9分）
（3）由（1）得，AD⊥平面B₁BCC₁，
所以AD為三棱錐A-B₁DE的高，且.                      （10分）
由（1）得.             （11分）
故.                    （13分）