Question

設函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，則a的取值范圍是________．

Answer 1

（1，）
分析：函數f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，問題轉化為y=f（x）的圖象與y=x的圖象有兩個不同的公共點，構造函數利用導數，求最大值，然后求解即可得出符合題意的a的取值范圍．
解答：f（x）=a^x（a＞0，a≠1）的定義域和值域均為[m，n]，
那么y=f（x）與y=x的圖象有兩個交點
即方程f（x）-x=0有兩個不相等的實數根．
設g（x）=f（x）-x=a^x-x
則g'（x）=a^xlna-1
令g'（x）=0 得 a^x=＞0，說明a＞1
所以x=
所以當x=-log_a（lna）時，g（x）取得最小值
由＜0 得
1＜a＜
故答案為：（1，）．
點評：本題考查了函數的定義域、函數的值域、閉區間上函數的最值問題，屬于難題．利用構造，研究一個新的函數零點的問題，此法是高中數學解題的一大難點．