Question

函數f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（1）當a=-1時，求函數的極值
（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數，求實數a的取值范圍．
（3）（理科做，文科不用做）
若a=3時，f（x）=x³+3x²+x+2的導函數f^′（x）是二次函數，f^′（x）的圖象關于軸對稱．你認為三次函數f（x）=x³+3x²+x+2的圖象是否具有某種對稱性，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，得f（x）=x³-x²+x+2，求出f′（x），根據函數單調性可求極值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數，等價于f′（x）≥0恒成立，由此可解；
（3）先猜測f（x）=x³+3x²+x+2的圖象具備中心對稱，再根據中心對稱的定義進行證明即可．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=x³-x²+x+2，f′（x）=3x²-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函數，所以f（x）不存在極值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數，則有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，則△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以實數a的取值范圍是[-

3

，

3

]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數，則有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，則△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以實數a的取值范圍是[-

3

，

3

]．
（3）f（x）=x³+3x²+x+2的圖象具備中心對稱．
證明：f′（x）=3x²+6x+1的對稱軸x=-1，現證f（x）的圖象關于點C（-1，3）中心對稱．
設M（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點，且M（x，y）關于C（-1，3）對稱的點為N（x₀，y₀），
則

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =3

，得

x0=-2-x y0=6-y

，
因為f(x0)=x03+3x02+x0+2=（-2-x）³+3（-2-x）²+（-2-x）+2=-（x³+3x²+x+2）+6=-y+6=y₀，
故M關于點C（-1，3）對稱的點N（x₀，y₀）也在函數y=f（x）的圖象上，
所以f（x）的圖象關于點C（-1，3）中心對稱．

點評：本題主要考查導數的應用及函數的對稱性問題，（3）問為存在性問題．