Question

已知-1≤x≤0，求函數y=2^x+2-3•4^x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：先化簡，然后利用換元法令t=2^x根據變量x的范圍求出t的范圍，將原函數轉化成關于t的二次函數，最后根據二次函數的性質求在閉區間上的最值即可．

解答：解：令y=2^x+2-3•4^x=-3•（2^x）²+4•2^x（3分）
令t=2^x，則y=-3t²+4t=-3(t-

2

3

)2+

4

3

（6分）
∵-1≤x≤0，∴

1

2

≤2x≤1即t∈[

1

2

，1]（8分）
又∵對稱軸t=

2

3

∈[

1

2

，1]，
∴當t=

2

3

，即x=log2

2

3

時ymax=

4

3

（10分）
當t=1即x=0時，y_min=1（12分）

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及利用換元法轉化成二次函數求解值域的問題，屬于基礎題．