Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8．
（1）設點Q（x，y）是圓C上一點，求x+y的取值范圍；
（2）如圖，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足，求點N的軌跡的內接矩形的最大面積．

Answer 1

解：（1）∵點在圓C上，

∴可設α∈[0，2π）；（2分）
，（4分）
從而x+y∈[-5，3]．（6分）
（2）∵．
∴NP為AM的垂直平分線，
∴|NA|=|NM|．（8分）
又∵，∴．
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓．（10分）
且橢圓長軸長為，焦距2c=2．
∴．
∴點N的軌跡是方程為．（12分）
所以N為橢圓，其內接矩形的最大面積為．（14分）
分析：（1）由已知中圓C：（x+1）²+y²=8，我們易求出圓的參數方程α∈[0，2π），將問題轉化為三角函數值域問題，利用輔助角公式，及正弦型函數的性質，易得到答案．
（2）由，易得NP為AM的垂直平分線，則．則動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，且橢圓長軸長為，焦距2c=2．由此可以得到N的軌跡方程，則連接其通徑四個點的內接矩形的面積最大，由此即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是圓方程的綜合應用，在求x+y的取值范圍時，利用參數方程可以大大簡化解題的難度．