Question

【題目】已知三次函數f（x）=x3+bx2+cx+d（a，b，c∈R）過點（3，0），且函數f（x）在點（0，f（0））處的切線恰好是直線y=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=9x+m﹣1，若函數y=f（x）﹣g（x）在區間[﹣2，1]上有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=3x2+2bx+c，由已知條件得：

，解得b=﹣3，c=d=0；

∴f（x）=x3﹣3x2

（2）解：由已知條件得：f（x）﹣g（x）=0在[﹣2，1]上有兩個不同的解；

即x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在區間[﹣2，1]有兩個不同的解；

即m=x3﹣3x2﹣9x+1在[﹣2，1]上有兩個不同解．

令h（x）=x3﹣3x2﹣9x+1，h′（x）=3x2﹣6x﹣9，x∈[﹣2，1]；

解3x2﹣6x﹣9＞0得：﹣2≤x＜﹣1；解3x2﹣6x﹣9＜0得：﹣1＜x≤1；

∴h（x）max=h（﹣1）=6，又f（﹣2）=﹣1，f（1）=﹣10，∴h（x）min=﹣10；

m=h（x）在區間[﹣2，1]上有兩個不同的解，∴﹣1≤m＜6．

∴實數m的取值范圍是[﹣1，6）

【解析】（1）根據已知條件即可建立關于b，c，d的三個方程，解方程即可求出b，c，d，從而求出f（x）的解析式．（2）由已知條件可得到方程f（x）﹣g（x）=0在區間[﹣2，1]上有兩個不同的解，帶入f（x），g（x）后得到：方程x3﹣3x2﹣9x﹣m+1=0在區間[﹣2，1]上有兩個不同解．因為求m的取值范圍，所以把方程變成：m=x3﹣3x2﹣9x+1，求函數x3﹣3x2﹣9x+1在區間[﹣2，1]上的取值范圍，要使方程有兩個不同的解，從而求出m應滿足的范圍．這樣便求出了m的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．