Question

已知函數圖象上的一個最高點為，由這個最高點到相鄰最低點間的曲線與x軸相交于點Q（6，0）．
（1）求這個函數的表達式；
（2）求這個函數的單調區間．

Answer 1

解：（1）由曲線y=Asin（ωx+φ）的一個最高點是（2，），得A=，
又最高點（2，）到相鄰的最低點間，曲線與x軸交于點（6，0），
則=6-2=4，即T=16，所以ω==．
此時y=sin（x+φ），
將x=2，y=代入得=sin（×2+φ），，
+φ=，
∴φ=，
所以這條曲線的解析式為．
（2）因為x+∈，解得x∈[16k-6，2+16k]，k∈Z．
所以函數的單調增區間為[-6+16k，2+16k]，k∈Z，
因為x+∈，解得x∈[2+16k，10+16k]，k∈Z，
所以函數的單調減區間為：[2+16k，10+16k]，k∈Z，
分析：（1）首先由曲線y=Asin（ωx+φ）的最高點求A，再由最高點與相鄰的平衡點求最小正周期T，進一步求得ω，最后通過特殊點求φ，則問題解決．
（2）通過（1）的函數解析式，借助正弦函數的單調區間，求出函數的單調區間即可．
點評：本題主要考查由曲線y=Asin（ωx+φ）的部分信息求函數y=Asin（ωx+φ）的解析式的方法．函數單調區間的求法，考查計算能力．