Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，求證：
（1）PC⊥BD；
（2）面PBD⊥面PAC．

Answer 1

分析：（1）欲證明PC⊥BD，只需證明BD垂直于PC所在的平面，根據已知以及線面垂直的性質，正方形的性質，就可證明BD垂直于PC所在的平面PAC，進而證明PC垂直于BD．
（2）與證明平面PBD⊥平面PAC，只需證明，平面PBD經過平面PAC的一條垂線，由（1）可知BD垂直于平面PAC，且BD包含于平面PBD，就可證明平面PBD⊥平面PAC．

解答：解：（1）連接AC，BD．
∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD
∵PA?平面PAC，AC?平面PAC，PA∩AC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）由（1）可知，BD⊥平面PAC，又∵BD?平面PBD
∴平面PBD⊥平面PAC．

點評：本題主要考查了空間線面垂直，面面垂直的證明，考查了學生的空間想象能力，推理能力．