Question

【題目】已知數列和滿足：，，，且對一切，均有.

（1）求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；

（2）若，求數列的前n項和；

（3）設（），記數列的前n項和為，問：是否存在正整數，對一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2） （3）存在，2或3

【解析】

(1)原式兩邊同時除以再根據等差數列定義證明即可.

(2)代入(1)中求得的數列的通項公式,再利用數列前項積與通項的方法求解即可.

(3)根據(2)中的方法求得關于的解析式,再將代入,再根據正整數,分情況討論的取值,將的關系式看成函數進行單調性的分析即可.

(1)證明：由,,兩邊除以,得

,即,

所以,數列為等差數列,所以,

(2)當時,由(1),

當時有,

當時有,,兩式相除有.

當時, 也成立.故,

(3)由題,同(2)有.

又

因為對一切,均有恒成立,

所以當時,.

若,則,,故,故不成立.

若,,

故,,,,.

且當時,. .故成立.

若,則,故,,

,.

又當時, ,故,故成立.

若,則,

令,.

故在上是增函數,又.所以.

故,故不成立.

綜上所述, 的取值為2或3；