Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)過點C(

3

2

，

3

2

)且離心率為

6

3

，A、B是長軸的左右兩頂點，P為橢圓上意一點（除A，B外），PD⊥x軸于D，若

PQ

=λ

QD

，λ∈(-1，0)．
（1）試求橢圓的標準方程；
（2）P在C處時，若∠QAB=2∠PAB，試求過Q、A、D三點的圓的方程；
（3）若直線QB與AP交于點H，問是否存在λ，使得線段OH的長為定值，若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）把點C代入橢圓方程可得a，b的一個方程，由離心率為

6

3

，得

c

a

=

6

3

，再結合a²=b²+c²可得a，b；
（2）易知所求圓的直徑為AQ，通過解直角三角形可求tan∠PAB，由二倍角的正切公式可求tan∠QAB，從而可得Q點的坐標，進而可得圓心、半徑；
（3）設P（x₀，y₀），H（x，y），由H、A、P三點共線及Q、H、B三點共線可得x，y的方程組，解出x，y，用x₀，λ表示出OH²，根據其為定值可得方程，解出即可；

解答：解：（1）由橢圓過點C，得

( 3 2 )2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，即

3

4a2

+

3

4b2

=1①，
由離心率為

6

3

，得

c

a

=

6

3

，所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

2

3

，得a²=3b²②，
聯立①②解得a²=3，b²=1，
所以橢圓的標準方程為：

x2

3

+y2=1；
（2）由（1）得A（-

3

，0），
當P在C處時，D（

3

2

，0），P（

3

2

，

3

2

），
tan∠PAB=

PD

AD

=

3 2

3 2 -(- 3 )

=

1

3

，
則tan∠QAB=

2tan∠PAB

1-tan2∠PAB

=

2× 1 3

1-( 1 3 )2

=

3

4

，則

QD

AD

=

3

4

，QD=

3

4

×

3 3

2

=

9 3

8

，
所以Q（

3

2

，

9 3

8

），易知過Q、A、D三點的圓以AQ為直徑，則圓心為（-

3

4

，

9 3

16

），直徑AQ=

( 3 2 + 3 )2+( 9 3 8 )2

=

15 3

8

，
半徑為

15 3

16

，
故所求圓的方程為(x+

3

4

)2+(y-

9 3

16

)2=

675

256

；
（3）存在λ=-

2

3

滿足條件，理由如下：
設P（x₀，y₀），則D（x₀，0），由

PQ

=λ

QD

，得（0，y_Q-y₀）=λ（0，-y_Q），可得yQ=

y0

1+λ

，則Q（x0，

y0

1+λ

），
設H（x，y），由H、A、P三點共線，得k_AH=k_AP，即

y

x+ 3

=

y0

x0+ 3

①，同理由Q、H、B三點共線可得

y

x- 3

=

y0

(1+λ)(x0- 3 )

②，
聯立①②解得

x= (2 3 + 3 λ)x0-3λ 2 3 +( 3 -x0)λ y= 2 3 y0 2 3 +( 3 -x0)λ

，又點P在橢圓上，所以

x02

3

+y02=1，
所以OH²=x²+y²=[

(2 3 + 3 λ)x0-3λ

2 3 +( 3 -x0)λ

]2+[

2 3 y0

2 3 +( 3 -x0)λ

]2
=[

(2 3 + 3 λ)x0-3λ

2 3 +( 3 -x0)λ

]2+

12(1- x02 3 )

[2 3 +( 3 -x0)λ]2

=

(8+12λ+3λ2)x02-6 3 (2λ+λ2)x0+9λ2+12

λ2x02-(4 3 λ+2 3 λ2)x0+3λ2+12λ+12

，
若線段OH的長為定值，須有

8+12λ+3λ2

λ2

=

-6 3 (2λ+λ2)

-(4 3 λ+2 3 λ2)

=

9λ2+12

3λ2+12λ

，
解得λ=-

2

3

，
故存在滿足條件的λ=-

2

3

．

點評：本題考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系，考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強、運算量大，對能力要求很高．