Question

在二項式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展開式中，前三項的系數成等差數列，求展開式中的有理項和二項式系數最大的項．

Answer 1

分析：二項展開式的前三項的系數分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1）成等差數列，可求得n，利用二項展開式的通項公式即可求得展開式中的有理項和二項式系數最大的項．

解答：解：∵二項展開式的前三項的系數分別為1，

n

2

，

1

8

n（n-1）…2分
∴2•

n

2

=1+

1

8

n（n-1），
解得n=8或n=1（不合題意，舍去）…4分
∴T_r+1=

C

r 8

•x

8-r

2

•(

1

2

)r•x-

r

4

=

C

r 8

•2^-r•x4-

3r

4

，
當4-

3r

4

∈Z時，T_r+1為有理項，
∴0≤k≤8且k∈Z，
∴k=0，4，8符合要求…8分
故有理項有3項，分別是：T₁=x⁴，T₅=

35

8

x，T₉=

1

256

x^-2，
∵n=8，
∴展開式中共9項，中間一項即第5項的系數最大，T₅=

35

8

x…12分

點評：本題考查二項式定理及二項式系數的性質，考查分析與運算能力，屬于中檔題．