Question

（10分）函數f(x)＝是定義在(－1,1)上的奇函數，且f＝.
(1)確定函數f(x)的解析式；
(2)用定義證明f(x)在(－1,1)上是增函數；
(3)解不等式f(t－1)＋f(t)＜0.

Answer 1

（1）f(x)＝.
（2）略
（3）0＜t＜.

(1)依題意得即⇒
∴f(x)＝.…………3分
(2)任取－1＜x₁＜x₂＜1，f(x₁)－f(x₂)＝－＝
∵－1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁－x₂＜0,1＋x₁²＞0,1＋x₂²＞0.又－1＜x₁x₂＜1，∴1－x₁x₂＞0
∴f(x₁)－f(x₂)＜0，∴f(x)在(－1,1)上是增函數．                …………7分
(3)f(t－1)＜－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函數，
∴－1＜t－1＜－t＜1，解得0＜t＜.                           …………10分