Question

已知曲線C是到定點M（-2，0）距離除以到定點N（0，2）的距離商為

2

的點的軌跡，直線l過點A（-1，2）且被曲線C截得的線段長為2

7

，求曲線C和直線l的方程．

Answer 1

分析：直接利用條件求出曲線C的方程，表示一個圓，當直線l的斜率不存在時，檢驗滿足條件，當直線l的斜率存在時，
用點斜式設出直線l的方程，求出圓心到直線的距離d，再利用弦長公式求出直線l的斜率，從而得到直線l的方程．

解答：解：設曲線C上任意一點的坐標為（x，y），由題意得 

|PM|

|PN|

= 

(x+2)2+y2 x2+(y-2)2

=

2

，化簡可得
（x-2）²+（y-4）²=16，即為所求曲線C的方程．
當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為 x=-1，代入曲線C的方程得 y=4±

7

，此時的弦長為2

7

，滿足條件．
當直線l的斜率存在時，直線l的方程為 y-2=k（x+1），即 kx-y+k+2=0．
圓心到直線的距離 d=

|2k-4+k+2|

k2+1

=

|3k-2|

k2+1

=

r2-( l 2 )2

=

16-7

，∴k=-

5

12

，
此時，直線l的方程為 5x+12y-19=0．
綜上，曲線C的方程為  （x-2）²+（y-4）²=16，直線l的方程為  x=-1，或  5x+12y-19=0．

點評：本題考查直接利用條件求點的軌跡方程的方法，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，求直線l的斜率是解題的難點．