Question

在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列是等差數列；
（II）設求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n，利用分離常數法，可證得數列是等差數列；
（II）由（I）中數列的通項公式，求出S_n的通項公式，進而可得數列{b_n}的通項公式，利用裂項相消法，可得數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）由（II）中T_n的表達式，可得到T_n為遞增數列，故對任意自然數n∈N^*，都有成立，即，由此構造m的不等式，解答后可得m的范圍進而得到最大值．
解答：證明：（I）∵當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n
兩邊同除S_nS_n-1得：2=-
∵a₁=1，
∴=1
即{}是以1為首項，以2為公差的等差數列
（II）由（I）得=2n-1
即S_n=
∴==（-）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（1-）+（-）+…+（-）]=（1-）=
（III）令T（x）=，則T′（x）=
則T（x）在[1，+∞）上是增函數，
故當n=1時，T_n取最小值
若對任意自然數n∈N^*，都有成立
只要
即
解得m＜，
由m∈N^*，
∴m的最大值為9
點評：本題考查的知識點是數列與不等式的綜合，等差關系的確定，數列求和，熟練掌握分離常數法，裂項相消法等處理數列問題的常用方法，是解答的關鍵．