Question

【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，過點F1作圓x2+y2＝a2的切線交雙曲線右支于點M，若tan∠F1MF2＝2，又e為雙曲線的離心率，則e2的值為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

運用雙曲線的定義可得|MF1|﹣|MF2|＝2a，設|MF2|＝t，則|MF1|＝2a+t，sin∠MF1F2，然后在三角形MF1F2中由正、余弦定理列方程可解得離心率的平方.

如圖：

|MF1|﹣|MF2|＝2a，設|MF2|＝t，則|MF1|＝2a+t，

∵sin∠MF1F2，

若tan∠F1MF2＝2，則sin∠F1MF2，cos∠F1MF2，

在△MF1F2中，由正弦定理得，即，

∴ta，∴|MF2|a，|MF1|＝（2）a，

由余弦定理得4c2＝5a2+（9+4）a2﹣2a×（2）a，

4c2＝（10+2）a2，∴c2═a2，∴e2.

故選：C.