Question

四位同學在研究函數f（x）=

x

1+|x|

（x∈R）時，分別給出下面四個結論：
①函數f（x）的值域為（-1，1）；
②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；
③f（x）是連續且遞增的函數，但f（0）不存在；
④若規定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
上述四個結論中正確的是

①②④

．

Answer 1

分析：根據題意，利用函數的奇偶性、單調性及遞推關系對四個選項逐一判斷即可．

解答：解：①當x＞0時，f(x)=

x

1+x

=

1+x-1

1+x

=1-

1

1+x

，此時函數為增函數，所以0＜1-

1

1+x

＜1，即0＜y＜1．
當x＜0時，f(x)=

x

1-x

=

(x-1)+1

1-x

=-1+

1

1-x

=-1-

1

x-1

，此時函數為增函數，所以-1＜-1+

1

1-x

＜0，即-1＜y＜0．
當x=0時，f（x）=0．
綜上-1＜f（x）＜1，即函數f（x）的值域為（-1，1）．所以①正確．
②由①知函數f（x）單調遞增，所以當x₁≠x₂時，則一定有f（x₁）≠f（x₂），所以②正確．
③當x=0時，f（0）=0，所以③錯誤．
④f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f₂（x）=f[f₁（x）]=

x

1+2|x|

，同理可求，f₃（x）=

x

1+3|x|

，由歸納推理可得f_n（x）=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
所以④正確．
故答案為：①②④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查函數f（x）=

x

1+|x|

的性質，考查分析問題與解決問題的能力．