Question

六個人排成一排，計算下列各種情況下的排列數（寫出算式并計算結果）
（Ⅰ）甲不在排頭，也不在排尾；
（Ⅱ）甲不在排頭，乙不在排尾；
（Ⅲ）甲、乙相鄰；
（Ⅳ）甲、乙、丙三人互不相鄰．

Answer 1

分析：（I）根據題意，假設6個人分別對應6個空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有4個位置可選；而其他5人對應其他5個位置，對其全排列，由分步計數原理計算可得答案．
（II）分兩類，一類是乙排排頭，二類是乙不排排頭，在一、二類情況下分別利用分步法求其排法數相加．
（III）先將甲、乙捆綁，與其他4人全排列；再排甲、乙，由乘法原理可得答案．
（IV）先排其他3人，再在這3人的左右4個位置中選3個排甲、乙、丙，由乘法原理可得答案．

解答：解：（I）假設6個人分別對應6個空位，甲不排在排頭也不排在排尾，有4個位置可選；
則其他4人對應其他4個位置，有

A

5 5

=種情況，
則不同排列方法種數4×=480種；
（II）根據加法原理，分兩類，
一類是乙排排頭，有

A

5 5

=120種；
二類是乙不排排頭，先排排頭有4種方法，再排排尾有4種排法，最后排中間四個位置有

A

4 4

種排法；
由乘法原理共有4×4×

A

4 4

=384種；
所以甲不在排頭，乙不在排尾共有384+120=504種；
（III）先將甲、乙捆綁，與其他4人全排列，再排甲、乙，
共有

A

5 5

•

A

2 2

=240種．
（IV）先排其他3人，再在這3人的左右4個位置中選3個排甲、乙、丙，
共有

A

3 3

•

A

3 4

=144種．

點評：本題考查了加法計數原理、乘法計數原理的應用，考查了排列數計數公式，本題采用了捆綁法，插空法，特除位置優先法等常用解答排列組合問題的方法．