Question

已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.
(1)求拋物線(xiàn)的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于，兩點(diǎn),求證: .

Answer 1

(1)(2)詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)可利用待定系數(shù)法設(shè)拋物線(xiàn)方程為求解；
(2)因?yàn)槭侵本�(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交問(wèn)，可以設(shè)直線(xiàn)方程（斜率不存在時(shí)單獨(dú)討論），然后聯(lián)立拋物線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合條件來(lái)求解.
試題解析：解：(1)由題設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個(gè)坐標(biāo)為，2分
∵，∴，4分
∴，∴，∴.6分
(2)設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
法一：因?yàn)橹本�(xiàn)當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)當(dāng)的方程為
方程組得，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/2/5apdd.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
=0，
所以.
法二：①當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)
即有所以.       8分
當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為
方程組得
所以10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6c/2/5apdd.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
所以.
由①②得.12分
考點(diǎn)：1.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.