Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁B₁的中點，則異面直線A₁C與AE所成角的余弦值是______．

Answer 1

以D為坐標原點，建立空間直角坐標如圖；設正方體的棱長為1，
則A（1，0，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1，），C（0，1，0），
因為E是棱A₁B₁的中點，所以E（1，

1

2

，1），
所以

AE

=(0，

1

2

，1)，|

AE

|=

( 1 2 )2+1

=

5

2

，

A1C

=(-1，1，-1)，|

A1C

|=

3

，

A1C

?

AE

=

1

2

-1=-

1

2

，即

CA1

?

AE

=

1

2

，
所以異面直線A₁C與AE所成角的余弦值為cos＜

CA1

，

AE

＞=

CA1 ? AE

| CA1 |?| AE |

=

1 2

5 2 × 3

=

15

15

．
故答案為：

15

15

．