Question

【題目】已知橢圓：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，離心率為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若是弦的中點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，求的面積最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)可求得，結(jié)合離心率為即可求得，，問題得解。

（2）設(shè)，.設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程可得：，結(jié)合可求得，利用弦長(zhǎng)公式求得，再利用直線與橢圓的位置關(guān)系即可求出點(diǎn)到直線的距離的最大值，問題得解。

解：∵，為橢圓的左焦點(diǎn)，

設(shè)橢圓的焦距為，所以，

∵離心率為，∴，又，所以，

∴橢圓的方程為：.

（2）設(shè)，.

∵是弦的中點(diǎn)，∴直線的斜率存在，設(shè)斜率為，

則直線的方程為：，即.

由聯(lián)立，整理得：，

因?yàn)橹本�與橢圓相交，所以成立.

∴，，

∴，

∴，

∴直線的方程為：，，，

∴ .

要使的面積最大值，而是定值，需點(diǎn)到的距離最大即可.

設(shè)與直線平行的直線方程為：，

由方程組聯(lián)立，得，

令，得.

∵是橢圓上一點(diǎn)，

∴點(diǎn)到的最大距離，即直線到直線的距離.

而，

此時(shí) .

因此，的面積最大值為.