Question

在△ABC中，三邊長分別為AB=7，BC=5，CA=6．
（1）求

BA

•

BC

的值；
（2）求

(sin2 A+C 2 -cos2 A-C 2 )sin2B

cosAcosBcosC

的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積的定義以及余弦定理求得

BA

•

BC

的值．
（2）先利用同角三角函數的基本關系求得sinB的值，再利用三角函數的恒等變換化簡要求式子的值．

解答：解：（1）由于

BA

•

BC

=|

BA

|•|

BC

|•cosB，…（1分）
由余弦定理可得 cosB=

AB2+BC2-AC2

2AB•BC

=

49+25-36

2×7×5

=

19

35

，…（3分）
∴

BA

•

BC

=7×5×cosB=7×5×

19

35

=19．…（5分）
（2）．∵B為三角形內角，B∈（0，π），sinB＞0，
∴sinB=

1-cos2B

=

54×16

35

=

12 6

35

．…（6分）
∴原式=

2sinBcosB(sin2 A+C 2 -cos2 A-C 2 )

cosAcosBcosC

=

2sinB

cosAcosC

•[

1-cos(A+C)

2

-

1+cos(A-C)

2

)]
=

sinB[-cos(A+C)-cos(A-C)]

cosAcosC

 …（10分）
=-

sinB(cosAcosC-sinAsinC+cosAcosC+sinAsinC)

cosAcosC

 
=-2sinB=-

24 6

35

．…（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算、余弦定理、三角函數的恒等變換，屬于中檔題．