Question

(本題滿分10分)

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E為PA的中點，過E作平行于底面的平面EFGH，分別與另外三條側棱相交于點F、G、H. 已知底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.

(1)求異面直線AF與BG所成的角的大小；

(2)求平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值

 

Answer 1

【答案】

(1) AF與BG所成角為；  (2)平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值為.

【解析】本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，異面直線及其所成的角，其中建立空間坐標系，將空間線線夾角及二面角問題轉化為空間向量夾角問題，是解答本題的關鍵．

由題意可知，AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A-xyz，求出圖中各點坐標

（1）求出異面直線AF，BG的方向向量，根據兩個向量的數量積為0，兩個向量垂直，易得異面直線AF，BG所成的角的大小為

（2）求出平面APB的法向量為 n和設平面CPD的法向量為m, ，代入向量夾角公式 ，可得面APB與面CPD所成的銳二面角的大小

解  由題意可知：AP、AD、AB兩兩垂直，可建立空間直角坐標系A-xyz

由平面幾何知識知：AD＝4,  D (0, 4, 0),  B (2 , 0 , 0 ),

C ( 2, 2, 0 ),  P (0, 0, 2),  E (0, 0, 1),  F (1 ,0, 1),  G (1 ,1 ,1)

(1) ＝(1,0,1), ＝(－1,1,1)

∴·＝0，

∴AF與BG所成角為  .         

(2) 可證明AD⊥平面APB，

∴平面APB的法向量為n＝(0,1,0)

設平面CPD的法向量為m＝(1，y，z)

由  Þ 

故m＝(1,1,2)

∵cos<m,n>＝

∴平面APB與平面CPD所成的銳二面角的余弦值為.