Question

【題目】數列{an}滿足:a1=,a2=2,3(an+1-2an+an-1)=2.

(1)證明:數列{an+1-an}是等差數列;

(2)求使+…+成立的最小的正整數n.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）6

【解析】分析：(1)由可得 ,從而可得數列是以為首項,為公差的等差數列；(2) 由(1)知,于是累加求和得， ，利用裂項相消法求和，解不等式即可得結果.

詳解：(1)證明 由3(an+1-2an+an-1)=2可得

an+1-2an+an-1=,

即(an+1-an)-(an-an-1)=,

故數列{an+1-an}是以a2-a1=為首項,為公差的等差數列.

(2) 由(1)知an+1-an=(n-1)=(n+1),

于是累加求和得an=a1+(2+3+…+n)=n(n+1),

∴=3.

∴+…+=3-,

∴n>5.∴最小的正整數n為6.