Question

已知向量

m1

=（0，x），

n1

=（1，1），

m2

=（x，0），

n2

=（y²，1）（其中x，y是實數），又設向量

m

=

m1

+ 

2

n2

，

n

=

m2

-

2

n1

，且

m

∥

n

，點P（x，y）的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與y軸的正半軸的交點為M，過點M作一條直線l與曲線C交于另一點N，當|MN|=

4

3

2

時，求直線 l 的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知

m

=(0，x)+(

2

y2，

2

)   =(

2

y2，x+

2

)，

n

=(x，0)-(

2

，

2

)  =(x-

2

，-

2

)，由

m

∥

n

，能導出所求曲線C的方程．
（2）由點M（0，1），知直線l與x軸不垂直．設直線l的方程為y=kx+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+1

，得（1+2k²）x²+4kx=0，由此能得到所求直線的方程．

解答：解：（1）由已知

m

=(0，x)+(

2

y2，

2

)   =(

2

y2，x+

2

)

n

=(x，0)-(

2

，

2

)  =(x-

2

，-

2

)，（2分）
∵

m

∥

n

，∴

2

y2(-

2

) -(x+

2

) (x-

2

) =0（4分）
即所求曲線C的方程是：

x2

2

+y2=1（6分）
（2）由（1）求得點M（0，1）．顯然直線l與x軸不垂直．
故可設直線l的方程為y=kx+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（8分）
由

x2 2 +y2=1 y=kx+1

，消去y得：（1+2k²）x²+4kx=0，解得x1=0，x2=

-4k

1+2k2

．（10分）
由|MN|=

1+k2

|

4k

1+2k2

| =

4 2

3

，解得：k=±1（12分）
∴所求直線的方程為x-y+1-0或x+y-1=0．（14分）

點評：本題考查直線方程和曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．