Question

設圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個內接圓柱的側面積等于圓錐側面積的

1

4

”的情況有且只有一種，則

r

l

=

3

2

．

Answer 1

分析：由題意畫出圓錐及其內接圓柱的軸截面圖，設出圓錐的高，圓柱的高和底面半徑，然后根據平行關系建立方程，由滿足條件“圓錐的一個內接圓柱的側面積等于圓錐側面積的

1

4

”的情況有且只有一種知方程有唯一解，利用方程的判別式等于0得圓錐的母線長l與底面半徑r的關系．

解答：解：由題意畫出軸截面圖，如圖所示，
圓錐的母線長為l，底面半徑為r，
設圓錐高為h，內接圓柱高為x，底面半徑為y，
∵CD∥AB，∴

O′C

OB

=

SO′

SO

，∴

y

r

=

h-x

h

，則y=

r

h

(h-x)，
∴圓錐的側面積S₁=πrl，圓柱的側面積S₂=2πx•y=2πx•

r

h

(h-x)．
由圓錐的一個內接圓柱的側面積等于圓錐側面積的

1

4

得：

1

4

πrl=

1

4

πr

r2+h2

=2πx•

r

h

(h-x)，
即8x2-8hx+h

h2+r2

=0，也就是8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0．
又“圓錐的一個內接圓柱的側面積等于圓錐側面積的

1

4

”的情況有且只有一種
∴方程8x2-8

l2-r2

x+

l2-r2

•l=0有且只有一個解，
∴△=(-8

l2-r2

)2-4×8

l2-r2

•l=0，
即32

l2-r2

•(2

l2-r2

-l)=0．
∵32

l2-r2

＞0，
∴2

l2-r2

-l=0，
整理得：(

r

l

)2=

3

4

，∴

r

l

=

3

2

．
∴圓錐的母線長為l，底面半徑為r，滿足條件“它的一個內接圓柱的側面積等于圓錐側面積的

1

4

”的情況有且只有一種時的

r

l

=

3

2

．
故答案為

3

2

．

點評：本題考查了旋轉體中組合體的關系，考查了學生的觀察與分析能力，考查了空間想象能力，解答此題的關鍵是把題目給出的條件轉化成方程有唯一解，體現了數學轉化思想，同時訓練了學生對一元二次方程有唯一解情況的處理，是中檔題．