Question

 

在平面直角坐標系xOy中，已知對于任意實數，直線恒過定點F. 設橢圓C的中心在原點，一個焦點為F，且橢圓C上的點到F的最大距離為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設（m，n）是橢圓C上的任意一點，圓O：與橢圓C有4個相異公共點，試分別判斷圓O與直線l₁：mx+ny=1和l₂：mx+ny=4的位置關系.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）, …1分

解得.   ……………………………………3分

設橢圓C的長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，

則由題設，知 于是a=2，b²=1.    ………………………………5分

所以橢圓C的方程為   …………………………………………6分

（2）因為圓O：與橢圓C有4個相異公共點，

所以，即            …………………………………8分

因為點（m，n）是橢圓上的點，所以.

所以.     ………………………………………10分

于是圓心O到直線l₁的距離，……………………………12分

圓心O到直線l₂的距離.      ……………………………13分

故直線l₁與圓O相交，直線l₂與圓O相離.……………………………………14分