Question

【題目】已知橢圓的焦距和長半軸長都為2.過橢圓的右焦點作斜率為的直線與橢圓相交于，兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點是橢圓的左頂點，直線，分別與直線相交于點，.求證：以為直徑的圓恒過點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析

【解析】

（1）易知橢圓中，結合，可求出橢圓的方程；

（2）結合由（1），可設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到關于的一元二次方程，設，，可表示出直線的方程，進而得到點的坐標，同理可得點的坐標，然后得到的表達式，結合韋達定理可證明，即，即以為直徑的圓恒過點.

（1）由題意，橢圓中，所以，

所以橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，設直線的方程為，

聯立，可得，

顯然恒成立，

設，，則，

易知直線的斜率存在，，則直線的方程為，

所以，即，同理可得，

則，

所以，

所以，即以為直徑的圓恒過點.