Question

設函數
（I）求函數的單調區間；
（II）若不等式（）在上恒成立，求的最大值.

Answer 1

（1）函數的增區間為，減區間為；（2）的最大值為3.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數研究函數的單調性、利用導數研究函數的極值與最值、恒成立問題等數學知識，考查綜合分析問題解決問題的能力和計算能力，考查函數思想和分類討論思想.第一問，首先求函數的定義域，利用為增函數，為減函數，通過求導，解不等式求出單調區間，注意單調區間必須在定義域內；第二問，因為不等式恒成立，所以轉化表達式，此時就轉化成了求函數的最小值問題；法二，將恒成立問題轉化為，即轉化為求函數的最小值，通過分類討論思想求函數的最小值，只需最小值大于0即可.
試題解析：（I）函數的定義域為.
由，得；由，得
所以函數的增區間為，減區間為.           4分
（II）（解法一）由已知在上恒成立.
則,令
則，設
則，所以函數在單調遞增.         6分
而
由零點存在定理，存在，使得，即，
又函數在單調遞增，
所以當時，；當時，.
從而當時，；當時，
所以在上的最小值
因此在上恒成立等價于         10分
由，知,所以的最大值為3.      12分
解法二：由題意
在上恒成立，
設 
       6分
1.當時，則，∴單增，，即恒成立.   8分
2.當時，則在單減，單增，
∴最小值為，只需即可，即，    10分
設 
，單減，
則，，，
∴.       12分