Question

（2012•太原模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，四個側面都是等邊三角形，AC與BD的交點為O，E為側棱SC上一點．
（1）求證：平面BDE⊥平面SAC
（2）當二面角E-BD-C的大小為45°時，試判斷點E在SC上的位置，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證平面BDE⊥平面SAC，可以通過BD⊥面SAC實現．而后者可由BD⊥SO，BD⊥AC易證得出．
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系．設四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，CE=a（0＜a＜2），利用平面BDE的法向量與平面SAC的法向量夾角，與二面角E-BD-C的大小關系，得出關于a的方程并解出即可．

解答：（本小題滿分12分）
（1）證明：由已知可得，SB=SD，O是BD的中點，
所以BD⊥SO                  （2分）
又因為四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，（3分）
因為AC∩SO=O，所以BD⊥面SAC．（4分）
又因為BD?面BDE，所以平面BDE⊥平面SAC．（5分）
（2）解：易證，SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如圖所示的空間直角坐標系．（7分）
設四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，
則O（0，0，0），S（0，0，

2

），B（0，

2

，0），D（0，-

2

，0）．
所以

BD

=（0，-2

2

，0），
設CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°，
則E（-

2

+

2 a

2

，0，

2 a

2

），

BE

=（-

2

+

2 a

2

，-

2

，

2 a

2

）．
設平面BDE的法向量為n=（x，y，z），則

n• BD =0 n• BE =0

即

y=0 (- 2 + 2 2 a)x- 2 y+ 2 2 az=0

令z=1，得n=（

a

2-a

，0，1），（9分）
因為SO⊥底面ABCD，所以

OS

=（0，0，

2

）是平面SAC的一個法向量，（10分）
因為二面量角E-BD-C的大小為45°，
所以

2

( a 2-a )2+1 • 2

=

2

2

，解得a=1，
所以點E是SC的中點．（12分）

點評：本題考查空間直線、平面垂直關系的判斷，二面角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．利用向量這一工具，解決空間幾何體問題，能夠降低思維難度．