Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x無實數根，下列命題：（1）方程f[f（x）]=x一定有實數根；
（2）若a＞0，則b²-2b-4ac+1＜0成立；（3）若a＜0，則必存在實數x₀，使f[f（x₀）]＞-1（4）若a=b=c，則不等式b＞

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2

成立．其中，正確命題的序號是

 

．（把你認為正確的命題的所有序號都填上）

Answer 1

分析：本題考查的是二次函數問題．在解答時，可以逐一進行判斷．
（1）由于方程f（x）=x無實數根，∴不存在f（x）使得f[f（x）]=x成立，由此可以判斷出對錯；
（2）利用數形結合和判別式已解答；
（3）特值法即可解答；
（4）利用判別式結合條件即可解答．

解答：解：由題意可知：方程ax²+（b-1）x+c=0無實根，則△=（b-1）²-4ac＜0即b²-2b-4ac+1＜0．
（1）由于方程f（x）=x無實數根，∴不存在f（x）使得f[f（x）]=x成立，故此命題錯誤；（2）由條件易知成立；
（3）取a=-1、b=0、c=-1，則f[f（x）]=-（x²+1）²-1≤-1，所以次命題不成立；（4）由條件若a=b=c結合b²-2b-4ac+1＜0，可知b＞

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．
故答案為：（2）（4）．

點評：本題考查的是二次函數問題．在解答時充分體現了數形結合的思想、函數與方程的思想以及問題轉化的思想．值得同學們體會與反思．