Question

近幾年來，我國許多地區經常出現干旱現象，為抗旱經常要進行人工降雨．現由天氣預報得知，某地在未來5天的指定時間的降雨概率是：前3天均為50%，后2天均為80%，5天內任何一天的該指定時間沒有降雨，則在當天實行人工降雨，否則，當天不實施人工降雨．
（1）求至少有1天需要人工降雨的概率；
（2）求不需要人工降雨的天數x的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）先求出5天全不需要人工降雨的概率，再由間接法能求出至少有1天需要人工降雨的概率．
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，分別求出P（x=4），P（x=3），p（x=2），P（x=1），P（x=0）的值，由此能求出不需要人工降雨的天數x分布列和期望．

解答：解：（1）5天全不需要人工降雨的概率是P1=(

1

2

)3(

4

5

)2=

2

25

，…（2分）
故至少有1天需要人工降雨的概率是1-p₁=

92

100

=

46

50

=

23

25

．…（4分）
（2）x的取值是0，1，2，3，4，5，
由（1）知4天不需要人工降雨的概率是：
P（x=4）=（

1

2

）³C

1 2

•

4

5

×

1

5

+C

1 3

•（

1

2

）³（

4

5

）²=

7

25

，…（5分）
P（x=3）=

C

2 3

（

1

2

）³（

4

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）（

4

5

）+（

1

2

）³（

1

5

）²=

73

200

，…（6分）
2天不需要人工降雨的概率是：
P（x=2）=C

2 3

（

1

2

）³（

1

5

）²+C

1 3

（

1

2

）³C

1 2

（

1

5

）×（

4

5

）+（

1

2

）³×（

4

5

）²=

43

200

，…（7分）
1天不需要人工降雨的概率是：P（x=1）=

11

200

，…（8分）
0天不需要人工降雨的概率是：P（x=0）=（

1

2

）³（

1

5

）²=

1

200

，…（9分）
不需要人工降雨的天數x分布列是：…（10分）

x	0	1	2	3	4	5
P	1 200	11 200	43 200	73 200	7 25	2 25

不需要人工降雨的天數x的期望是：
F1=0×

1

200

+1×

11

200

+2×

43

200

+3×

73

200

+4×

7

25

+5×

2

35

=3.1．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的合理運用．