Question

已知焦點在y軸,頂點在原點的拋物線C₁經過點P(2,2),以C₁上一點C₂為圓心的圓過定點A(0,1),記為圓與軸的兩個交點.
(1)求拋物線的方程;
(2)當圓心在拋物線上運動時,試判斷是否為一定值？請證明你的結論;
(3)當圓心在拋物線上運動時,記,,求的最大值．

Answer 1

(1）x²="2y" ；(2)定值2；(3）

試題分析：(1)由焦點在y軸,頂點在原點的拋物線假設為，又C₁經過點P(2,2)，即可求出拋物線的.即可得拋物線的方程.
(2）當圓心在拋物線上運動時，寫出圓的方程，再令y=0即可求得圓的方程與x軸的兩交點的坐標，計算兩坐標的差即可得到結論.
(3）當圓心在拋物線上運動時，由(1)可得M,N的坐標（其中用圓心的坐標表示）.根據兩點的距離公式即可用圓心的坐標表示m,n的值，將適當變形，再根據基本不等式即可求得的最大值.
(1)由已知,設拋物線方程為x²=2py,2²=2p×2,解得p=1.
所求拋物線C₁的方程為x²=2y.-------3分
(2)法1：設圓心C₂(a,a²/2),則圓C₂的半徑r=
圓C₂的方程為.
令y=0,得x²－2ax+a²－1=0,得x₁=a－1,x₂=a+1.
|MN|=|x₁－x₂|=2(定值).------7分
法2：設圓心C₂(a,b),因為圓過A(0,1),所以半徑r=,
,因為C₂在拋物線上,a²=2b,且圓被x軸截得的弦長
|MN|=(定值)---7分
(3)由(2)知,不妨設M(a-1,0),N(a+1,0),