Question

已知點P(6，4)與定直線l₁:y=4x,直線l₂過點P與直線l₁相交于第一象限內的點Q，且與x軸的正半軸交于點M，求使△OMQ面積最小的直線l₂的方程.

Answer 1

l₂的直線方程為x+y－10=0.

設M(m,0)，則直線l₂的方程為
4x+(m－6)y－4m="0.                                                                                              " (*)
與y=4x聯立方程組，得y_Q=.
∵y_Q＞0,且m＞0,
∴S_△OMQ=·m·y_Q=，且m－5＞0.
令m－5=t，則t＞0,
∴S_△OMQ==2(10+t+)
≥2(10+2)=40.
當且僅當t=，即t=5時，S_△OMQ取最小值40.
此時，m=10.把m=10代入(*)式，得
l₂的直線方程為x+y－10=0.