Question

（理科）某中學有5名體育類考生要到某大學參加體育專業測試，學校指派一名教師帶隊，已知每位考生測試合格的概率都是，（1）若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位，求體育教師不坐后排的概率；
（2）若5人中恰有r人合格的概率為，求r的值；
（3）記測試合格的人數為ξ，求ξ的期望和方差．

Answer 1

解：（1）由題意可得：老師進行選擇時共有6種不同的選法，體育教師不坐后排的不同選法有C₃¹=3種，
記“體育教師不坐后排”為事件A，則．-----（4分）
（2）每位考生測試合格的概率，測試不合格的概率為
則，即，
∴C₅^r2^r=80，解得：r=3，4．
（3）由題意可得：ξ～，
∴，----（12分）
分析：（1）由題意可得：老師進行選擇時共有6種不同的選法，體育教師不坐后排的不同選法有C₃¹=3種，進而得到答案．
（2）每位考生測試合格的概率，測試不合格的概率為，則得到，再解方程可得答案．
（3）由題意可得：ξ～，進而根據二項分布的有關公式可得答案．
點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握等可能事件的概率與獨立重復試驗的概率公式，以及二項分布計算期望與方程的公式，即Eξ=np，Dξ=np（1-p），此題屬于基礎題．