Question

【題目】如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，，.

（1）求證：平面BCD；

（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值；

（3）求點E到平面ACD的距離。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）

【解析】

（1）連接OC，由BO＝DO，AB＝AD，知AO⊥BD，由BO＝DO，BC＝CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由題設知，AC＝2，故AO2+CO2＝AC2，由此能夠證明AO⊥平面BCD；

（2）取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，知ME∥AB，OE∥DC，故直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．在△OME中，，由此能求出異面直線AB與CD所成角大小的余弦；

（3）設點E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，，故，由AO＝1，知，由此能求出點E到平面ACD的距離．

（1）證明：連接OC，∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD，

∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD．

在△AOC中，由題設知，AC＝2，

∴AO2+CO2＝AC2，

∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC．

∵AO⊥BD，BD∩OC＝O，

∴AO⊥平面BCD．

（2）解：取AC的中點M，連接OM、ME、OE，由E為BC的中點，

知ME∥AB，OE∥DC，

∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角．

在△OME中，，

∵OM是直角△AOC斜邊AC上的中線，∴，

∴，

∴異面直線AB與CD所成角大小的余弦為

（3）解：設點E到平面ACD的距離為h．

，

，

在△ACD中，，

∴，

∵AO＝1，，

∴，

∴點E到平面ACD的距離為．