Question

圓有如下兩個性質：（1）圓上任意一點與任意不過該點的圓的直徑的兩端點的連線的斜率（若斜率存在）之積為定值－1；（2）圓的任意一條弦的中點與圓心的連線的斜率（若斜率存在）與該弦的斜率（若斜率存在）之積為定值－1。
（Ⅰ）試探究：橢圓上的任意一點與任意過橢圓中心但不過該點的弦的端點連線的斜率（若斜率存在）之積是否為定值，若是請求出該定值；
（Ⅱ）寫出類比圓的性質（2）得到的橢圓的類似性質，并證明之。

Answer 1

解：（Ⅰ）設為橢圓上的任意一點，AB為橢圓的任意一條過中心的弦，且，則，
則：，，
兩式作差得：；
，，
則，
則橢圓上的任意一點與任意過橢圓中心的弦的端點連線的斜率之積為定值。
（Ⅱ）橢圓的任意一條弦的中點與橢圓中心的連線的斜率（若斜率存在）與該弦的（若斜率存在）之積為定值。
證明：設AB為橢圓的任意一條不平行與坐標軸的弦，，AB中點，橢圓中心O，AB的方程為，
聯立
并整理得：，
由韋達定理：，
則：，
，
。