Question

設S={r₁，r₂，…，r_n}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意兩數之和不能被7整除，則n的最大值為

23

．

Answer 1

分析：由已知中S⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意兩數之和不能被7整除，我們可根據1～50中各數除以7的余數將數分為7類，進而分析出集合S中元素的最多個數，得到答案．

解答：解：可將S集合分為6組
S₀={7，14，21，28，35，42，49}，則card（S₀）=7
S₁={1，8，15，22，29，36，43，50}，則card（S₁）=8
S₂={2，9，16，23，30，37，44}，則card（S₂）=7
S₃={3，10，17，24，31，38，45}，則card（S₃）=7
S₄={4，11，18，25，32，39，46}，則card（S₄）=7
S₅={5，12，19，26，33，40，47}，則card（S₅）=7
S₆={6，13，20，27，34，41，48}，則card（S₆）=7
S中的任何兩個數之和不能被7整除，故S₁和S₆，S₂和S5，S₃和S₄中不能同時取數，且S₀中最多取一個
所以最多的取法是取S₁，S₂（或S₅），S₃（或S₄），和S₀中的一個
故card（S）max=8+7+7+1=23
故答案為23

點評：本題考查的知識點是集合的包含關系判斷及應用，其中根據已知對1～50各數根據除以7的余數將數分為7類，進而分析出結果，是解答本題的關鍵．