Question

已知數列中,且點在直線上。

(1)求數列的通項公式；

(2)若函數求函數的最小值；

(3)設表示數列的前項和.試問:是否存在關于的整式,使得

對于一切不小于2的自然數恒成立？若存在，寫出的解析式，并加以證明；若不存在,試說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）=n （2）（3）存在，證明詳見解析

【解析】

試題分析：（1）把點P（）代入直線x y 1=0得到，可知數列{}是等差數列.最后寫出等差數列的通項公式=n.（2）首先求出的表達式，通過判斷的符號，確定的單調性，從而求出最小值.（3）求出，S_n的表達式，可得，

由該遞推公式可得到，即，故.

試題解析：（1）點P（）在直線x y 1=0上，即且a₁=1，

數列{}是以1為首項，1為公差的等差數列.（2）

=n（）a₁=1滿足=n，所以數列的通項公式為=n.

（2）

是單調遞增，故的最小值是

（3）

，

即    ，

.

故存在關于n的整式使等式對一切不小于2的自然數n恒成立.

考點：1.等差數列的通項公式；2.數列的前n項和和增減性；3.數列的遞推公式