Question

如圖為橢圓C：的左、右焦點，D，E是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率，的面積為.若點在橢圓C上，則點稱為點M的一個“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點，A，B兩點的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）問是否存在過左焦點的直線，使得以PQ為直徑的圓經過坐標原點？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）直線方程為或.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程、直線的標準方程、圓的標準方程、韋達定理、向量垂直的充要條件等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、計算能力.第一問，利用橢圓的離心率和三角形面積公式列出表達式，解方程組，得到基本量a和b的值，從而得到橢圓的方程；第二問，直線l過左焦點，所以討論直線的斜率是否存在，當斜率不存在時，可以直接寫出直線方程，令直線與橢圓聯立，得到交點坐標，驗證以PQ為直徑的圓不過坐標原點，當斜率存在時，直線與橢圓聯立，消參，利用韋達定理，證明，解出k的值.
（1）由題意，，即，，即   2分
又得：
∴橢圓的標準方程：．                   5分
(2)①當直線的斜率不存在時，直線的方程為
聯立，解得或，
不妨令，，所以對應的“橢點”坐標，．
而
所以此時以為直徑的圓不過坐標原點．                7分
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為
 消去得，
設，則這兩點的“橢點”坐標分別為
由根與系數關系得：                 9分
若使得以為直徑的圓過坐標原點，則
而，∴
即，即
代入，解得：
所以直線方程為或．             12分