Question

已知定義在R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實常數）．
（Ⅰ）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數；
（Ⅱ）設f（x）是奇函數，求a與b的值；
（Ⅲ）當f（x）是奇函數時，證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（I）證明不是奇函數，可用特殊值法；
（II）用奇函數定義f（-x）=-f（x），再用待定系數法求解；
（III）即證明c²-3c+3大于f（x）的最大值，所以先求f（x）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

-2x+1

2x+1+1

，f(1)=

-2+1

22+1

=-

1

5

，f(-1)=

- 1 2 +1

2

=

1

4

，
所以f（-1）≠-f（1），f（x）不是奇函數；（2分）
（Ⅱ）f（x）是奇函數時，f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意x∈R恒成立．（4分）
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0對任意x∈R恒成立．（6分）
∴

2a-b=0 2ab-4=0

，∴

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

，∴

a=1 b=2

．（8分）
另解：∵f（x）是定義在R的奇函數，∴

f(0)=0 f(-1)+f(1)=0

，，
∴

a=1 b=2

，驗證滿足，∴

a=1 b=2

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；（12分）
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

＞

1

2

對任何實數c成立；
所以對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．（14分）

點評：本題主要考查奇函數的應用及恒成立問題．