Question

【題目】設函數．

（1）當時，求函數的極值；

（2）當時，討論函數的單調性；

（3）若對任意及任意，恒有成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）極小值為1,無極大值；（2）詳見解析；（3）.

【解析】

（1）當時，求得函數的導數，求得函數的單調性，進而求得函數的極值；

（2）時，求得函數導數，分類討論，即可求得函數的單調性，得到答案；

（3）由（2）知當時，在上單調遞減，求得，

得到，令，轉化為對恒成立，從而求出m的范圍．

（1）由題意得，函數定義域為，

當時，函數，則，

令，解得；令，解得，

所以函數在區間上遞減，在上遞增．

所以當時，有極小值為．

（2）當時，求得函數的導數

當時，解得和．

①當時，恒成立，此時在上遞減；

②當，即時，

令，解得，令，解得，

所以在上遞增，在和上遞減；

③當，即時，

令，解得，令，解得或，

所以在上遞增，在和上遞減．

（3）由（2）知當時，在區間上單調遞減，

所以，

要使對任意，恒有成立

則有，

即對任意成立，即對任意成立，

令，則對恒成立，

所以在上單調遞增，所以，

故m的取值范圍為．